我国古代著名数学书《孙子算经》中,有这样一道名题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这类问题一般是求满足条件的最小数。它也是小学数学各类竞赛的常见题型,但一般书籍所给出的解法都比较抽象,不易被学生所接受,本文拟提出把这类问题转化为整除问题去解决,其解题思路简捷、巧妙。
例1:一个数除以4、5、7都余2,这个数最小是多少?
[分析]由题中条件可知,只要从所求数中减去2,则这个数必能同时被4、5、7整除,因此,我们只要求出4、5、7的最小公倍数,再加上2即可。
解:设所求数为x,则(x-2)能同时被4、5、7整除,所以(x-2)一定能被4、5、7的最小公倍数140整除,所以x-2=140k,x=140k+2(k=1、2、3……),故所求的最小数为142。
例2:某校教师召开研讨会,每组5人多3人,每组7人少2人,每组10人多8人,问至少有多少名教师参加研讨会?
[分析]由题中条件可知,参加研讨会的人数被5、7、10除分别余3、5、8,显然,每个除数与它相应的余数之差均为2,所求人数与2之和一定能同时被5、7、10整除,从而仿例1可求出至少有68名教师参加研讨会。
思路一:求一个数x,如果x被不同的几个数去除,所得的几个余数全相等或所有除数与它们相应的余数之差全相等,只要给x减去这个余数或给x加上均差,从而把原题转化为整除问题,答案便不难求出。
例3:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合条件的最小数是多少?
[分析]由题中条件可知,所求最小数被3、5、7除分别余2、3、2,有两个余数同为2,那么,只要从所求数中减去2,所得的数就能同时被3、7整除。
解:设所求数为x,则(x-2)能同时被3、7整除,那么,(x-2)一定能被3、7的最小公倍数21整除,所以x-2=21k,x=21k+2(k=1、2、3……),即x为23、44、65……x又要满足被5除余3,所以x最小为23,即适合条件的最小数是23。
例4:某厂职工不到200人,分配住房时,每5人一间多3人,吃饭时,每9人一桌少1人,开小组会时,每7人一组多6人,问某厂有职工多少人?
[分析]由题中条件可知,所求人数被5、9、7除分别余3、8、6,考虑到除数9减去余数8与除数7减去余数6所得的差均为1,所以,给所求数加上1,所得数可被9和7整除,再仿例3的解法,可求出某厂职工为188人。
思路二:求一个数x,如果x被3个不同的数去除,所得余数有两个相等或两个除数与它们相应的余数之差相等时,只要从x中减去或给x加上适当的数,从而将原题转化为整除问题,答案便不难求出。
例5:一个数被5除余2,被7除余6,被11除余9,这个数最小是多少?
[分析]由题中条件可知,三个余数各不相等,三个除数与它们相对应余数之差也各不相等,但我们发现,只要给所求数扩大4倍后,再用5、7、11去除都余3,那么就可以把它转化为例1的情形去解决。
解:设所求数为x,则4x被5、7、11去除都余3,所以,(4x-3)能同时被5、7、11的最小公倍数385整除,所以4x-3=385k,当k=1时,x最小为97。
例6:一个数被3除余1,被7除余3,被11除余5,这个数最小是多少?
[分析]由题中条件可知,三个余数各不相等,三个除数与它们相对应余数之差也各不相等,但我们发现,只要给所求数扩大2倍后,再用3、7、11去除所得余数分别为2、6、10,除数与相应的新余数之差均为1,从而仿例2可将例6转化为整除问题,并求得这个数最小为115。
思路三:求一个数x,如果x被三个不同的数去除,所得三个余数各不相等,三个除数与它们相对应余数之差也各不相等时,我们可以给x扩大k倍(k=2、3、4……),若能使kx被原三个除数去除所得新余数全相等,或除数与相应新余数之差全相等,那么就可把原题转化为整除问题去解决。
例7:一个数除以5余1,除以6余3,除以7余6,这个数最小是几?
[分析]由题中条件可知,3个余数两两不等,且除数与它们相应余数之差两两不等,给所求数x扩大3倍后,用5、6、7去除3x分别余3、3、4,有两个余数同为3,那么,把问题可转化为例3的情形。
解:设所求数为x,则3x被5、6分别除都余3,那么,(3x-3)一定能被5、6的最小公倍数30整除,所以3x-3=30k,x=10k+1(k=1、2、3…),而要满足x被7除余6,那么满足题中条件的最小数为111。
例8:某校五年级学生在操场上做游戏,每组5人则多2人,每组6人则多1人,每组7人则多5人,五年级在操场上做游戏的学生至少有多少人?
[分析]由题中条件可知,3个余数两两不等,且除数与它们相应余数之差两两不等,给所求数x扩大2倍后,用5、6、7去除2x分别余4、2、3,除数6、7与它们相应新余数2、3之差同为4,那么,把问题可转化为例4的情形求得x最小值为187。
思路四:求一个数x,如果x被三个不同的数去除,所得三个余数各不相等,三个除数与它们相对应余数之差也各不相等时,我们可以给x扩大k倍(k=2、3、4……),若能使kx被原三个除数去除所得新余数有两个相等,或有两个除数与它们相应新余数之差相等时,把原题可转化为部分整除问题去解决,便不难求出x。
通过以上例子,我们总结出了解“物不知其数”问题的四种思路,其实“物不知其数”问题中的任何形式,都可用这四种思路中的某一种去解决,读者们不妨一试。
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