根据问题的条件确定解决问题的大致范围，然后通过不断改进方法或者排除不可能的情形，逐步缩小问题的解的存在范围，从而最终获得问题的结果。这种思想称之为逐步逼近思想。本文主要谈谈逐步逼近思想在小学数学解题教学中的具体应用。
一、枚举筛选与逐步逼近
一个问题如果有许多条件需要满足，那么，我们就必须一个条件、一个条件地去逐一满足。于是，我们总是先选择一个要求最低(满足要求的事物比较容易寻找)的条件，按照某种顺序(如从小到大)既不重复又不遗漏地逐一列出那些满足这一条件的所有事物。然后，再看这些事物是否满足第二个条件，不满足的排除，满足的留下。如此进行，直到满足所有条件为止，这时留下来的事物就是我们要寻求的。我们把最先不重不漏为满足某一条件而进行的列举事物的方法，称之为枚举；把不断地排除、留下的过程称之为筛选。通过不断地筛选，来获得问题的解，显然，这就是逐步逼近思想。
例1 有这样的两位数，将它分别乘以2、3、4、5、6、7、8、9后，所得结果的数字和都相等，那么它们是____。
【思考】先从乘数是9的情况考虑，一个两位数乘以9所得结果的数字和不变，也就是说，这个两位数的数字和等于它与9的积的数字和，而一个数与9的积的数字和必是9的倍数，所以这个两位数的数字和也是9的倍数。
于是，这个两位数可能是：18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。
用2分别去乘这几个数，积的数字和与这个两位数的数字和完全相同；
用3分别去乘这几个数，积的数字和与这个两位数的数字和不同的是63，去掉它；用4分别去乘除去63后剩下的几个数，积的数字和与这个两位数的数字和不同的是72，去掉它；还剩18、27、36、45、54、81、90、99。
用5分别去乘这几个数，积的数字和与这个两位数的数字和完全相同；
用6分别去乘这几个数，可排除81，还剩18、27、36、45、54、90、99；
用7分别去乘这几个数，可排除27、54，还剩18、36、45、90、99；
用8分别去乘这几个数，可排除36，还剩18、45、90、99。
于是，满足所有条件的两位数是：18、45、90、99。
枚举是为筛选作准备的，只有经过筛选的逐步淘汰，才能得到我们需要的结果。筛选的关键是枚举确定的范围，为了更快地寻求到结果，应该尽可能地缩小枚举范围。
例2 下图是一个小数的除法竖式，算式中注明的两个字母的要求为A
【思考】显然，C=D=E=F=S=0，J=5。
显然，X、I必有一个不小于8，不妨从X=9开始，这时I≥7。
若I=7，则因为A
于是681÷75=9．08。
这个竖式的除数与商的和是75+9．08=84．08。
显然，小学数学中常见的数字谜问题，其解法就是典型的枚举筛选。
二、估算筛选与逐步逼近
估算法是一种粗略的计算方法，也是一种快速的近似计算方法，它是通过对题目所给条件或信息作适当变形与整理后，对结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。显然，通过估算缩小问题解决的范围，然后利用筛选最后获得结果。这种先估算再筛选的思想就是逐步逼近思想。
估算筛选是小学数学中一种常见的方法。下面的例子将让我们感受到估算筛选这种逐步逼近思想在解题教学中的应用。
例3 有人见小诸葛一脸稚气，聪颖过人，不禁引发了好奇心：“请问孩儿今年贵庚几何?”小诸葛饶有趣味地回答：“鄙人今年岁数的立方是个四位数，岁数的4次方是个六位数，如果把两者合起来看，正好把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字统统用上去了，不重不漏。”那么小诸葛今年到底几岁?
【思考】从简单情况出发探索，由20 =8000 21 =9261 22 =10648知，小诸葛的年龄最大是21岁。
因为，15 =225×225是五位数，17 =289×289也是五位数。所以，小诸葛的年龄最小是18岁。
18 =324×324必是六位数，于是，直接计算18 =5832，18 =104976正好满足条件。故小诸葛今年18岁。
多位数乘法，积的位数的估计，是解决问题的关键。巧妙地利用估算，优化算法，能取得事半功倍的效果。
上述问题解答的过程，不仅提高了学生学习的兴趣，也达到了思维训练的目的。
例4 某住宅区共有十二家住户，他们的门牌号码分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码还能被13整除，问这一家的电话号码是____。
【思考】先求［1，2，…，11，12，］=27720，各家的电话号码可能是27720+1，27720+2，…，27720+12。
又27720÷13=2132…4，所以27720+9=27729能被13整除。
因为27729不是六位数，把它扩大十三倍(因为扩大后还须被13整除），得27729×13=360477。
但这时不能保证其他住户的电话号码能被各自的门牌号整除，例如360478就不能被10整除。
为解决这个问题，先将27720扩大十三倍得360360，再分别加上27720+1，27720+2，…，27720+12就得到满足条件的所有电话号码，其中360360+27720+9=388089即所求。
上述问题的解决，正是应用逐步逼近思想，使问题逐步解决。
三、目标分析与逐步逼近
目标分析指根据控制论的“反馈—控制”原理，首先按照问题的要求建立一个解题目标，然后比较初始条件、中间状态与解题目标之间的差异，确定和调整解题方向，使差异逐步缩小，最终达到解题目标，实现解题。这种目标分析思想也是逐步逼近思想。
目标分析的要点是：一建立适当的解题目标；二比较问题的现时状态与解题目标之间的差异；三按照解题目标的方向逐步缩小差异。
例5 在503后面添三个数字，使所得的六位数能被7、9、11整除。
【思考】从整体上考虑，该六位数既然能被7、9、11整除，也应该被7、9、11的最小公倍数693整除，反过来，如果这个六位数能被693整除，那么它一定能被7、9、11整除。因此，建立解题目标：
503□□□÷693=A (1)
其中A表示一个整数的商，设法在503的后面添入适当的数字使(1)成立。不妨设添入的三个数是999(最大的三个数字)，就得：
503999÷693=727…188 (2)
(2)与(1)比较发现多了余数188，只要在999中减去188得811。
503811÷693=727 (3)
(3)与解题目标(1)相一致了，503811是题目的一个解811，由于811大于693，还可以从811中再减去693，得到118，又得到另一个解503118。
此题如果用常规方法，从整数的整除性特征入手去考虑，所得的六位数如何才能被7、9、11整除，解答起来就比较困难。
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