数学教学应立足于培养学生的数学素养,教学是为了学生的发展而教。解决问题的策略的教学主要作用就是培养学生的数学素养,有效促进学生的发展。
小学生的数学素养主要有三方面的要求:
1.有一定的数学知识。
2.有数学眼光。能从数学角度观察现象,了解信息,分析条件和问题,能数学地看问题。
3.能数学地思维。用数学方法去推想,考虑解决问题,发展数学思维。
小学生正是形象思维好,而抽象思维已经起步的阶段。
从小学生必须具备的素养可以看出解决问题的重要性。解决问题是社会生活中的一项十分重要的活动,学生必须学会解决问题的常用方法、积累解决问题的相关经验;学生必须具有解决新颖的、比较难的问题的信心与能力。掌握一定的解决问题的策略能提高解决问题的效率,获得良好的解决问题效果。
解决问题是学校数学学习的核心问题。早在20世纪80年代中期,世界数学家大会上就提出解决问题,并确立解决问题的四个基点:问题意识、策略意识、合作意识和反思意识,策略从而进入教学范畴。学生不仅要会解常见的练习过的解答过的问题,也要解非常规的陌生的特殊的问题,每一个人必然会碰到非常规的问题,因此必须教给学生解决这些问题的思想、方法和策略。而形成解决问题的策略是发展学生思维的重要渠道,尤其对培养学生的实践能力和创新精神具有积极意义。在解决问题策略的实际教学中,“一策为主、多策并举”是学生学习和掌握解决问题的策略的较好的做法。下面结合“倒过来推想”的策略的教学从三个方面作具体阐述。
一、突出重点,着力建构解决问题的主要策略
苏教版五(下)的“倒过来推想”(下面简称“倒推”)的策略是在学生已经学习了用“画图”和“列表”等解决问题的策略的基础上教学的。“倒推”是一种应用于特定问题情境下的解题策略。已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果,又要追溯它的起始状态,便适合用“倒推”的策略加以解决。使学生学会运用“倒推”的策略寻找解决问题的思路,并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤,从而有效地解决问题,是学习“倒推”的策略的主要目标。教学中我们就要帮助学生学会运用“倒推”的策略寻求解决问题的思路,并能确定合理的解决问题的步骤,这也是要突出的重点。一句话,我们就要帮助学生着力建构解决问题的策略——“倒推”。为了突出重点,建构“倒推”策略,教材分三个层次学习。
第一层次,确认方法,初步感受策略。让学生学习例1,初步理解并掌握“倒推”的策略。
“例1,(省去情境图)甲乙两杯果汁共400毫升,甲杯倒入乙杯40毫升后,现在两杯果汁同样多。原来两杯果汁各有多少毫升?”
例1提供了在两个杯子之间倒果汁这样一个操作性强、过程清晰、学生熟悉的问题情境。首先运用图文结合的方式呈现两个杯子果汁的变化情况,接着提出要解决的问题:“原来两杯果汁各有多少毫升?”教学中要抓住解决这个问题的关键,一是根据给出的条件计算出现在甲、乙两杯各有果汁多少毫升;二是从现在两个杯子里果汁的毫升数,倒过来推算出原来两杯果汁各有多少毫升。教学的核心处,是让学生面对自己生活中感兴趣、有体验的倒果汁的实际问题,能自己想出“倒回去看看”,这时学生已经向“倒推”策略迁移了。当学生利用“倒推”策略解决问题后,还要求学生对解决问题的过程进行反思和交流,进一步明确解决这个问题时所运用的策略。
第二层次,掌握方法,感悟策略。让学生学习例2,进一步体会适合用“倒推”策略解决的这类实际问题的特点,进一步掌握“倒推”的基本方法。
“例2,小明原来有一些邮票,今年又收集了24张。送给小军30张后,还剩52张。小明原来有多少张邮票?”
例2中小明邮票的张数从“原来”到“现在”发生了两次变化,需要学生理清变化顺序和变化过程。例2在呈现问题后,教材直接提出“你准备用什么策略来解决这个问题”,目的是启发学生利用例1学习中获得的经验进行思考。教材呈现了学生可能想到的解决这个问题的两种不同方法,目的是鼓励学生富有个性地思考,发展思维能力。在学生列式解答后,还要求学生根据求出的答案,按题意进行顺推。让学生检验答案是否正确,也让学生进一步体会用“倒推”的策略解决问题的特点。
第三层次,经常反复体验方法,理解方法的本质,从而达到意会策略。学习“练一练”和练习十六的第1、2题(其他练习题在课外和第二课时学习)。让学生在应用巩固中,掌握“倒推”策略,并能灵活利用“倒推”策略解决各种各样的实际问题。
“练一练,小军收集了一些画片,他拿出画片的一半还多1张送给小明,自己还剩25张。小军原来有画片多少张?”
“练一练”中的实际问题和例2既相似,又稍复杂一些,运用策略解决问题时,学生要认真准确地理解题中的数量关系,师要帮助学生理解“小军拿出画片的一半还多一张送给小明”的含义,知道这个条件可理解为“先把画片一半送给小明,然后再送1张”;也可以理解为“如果只是把画片一半送给小明,那么剩下的画片就多了1张,也就是26张”。在理解数量关系的基础上进行有条理的思考,按照事情发生发展的结果,有序倒推到原始状态,做到有序整理,有序推算回去。这可以看出,在运用解决问题的策略时,分析实际问题中的数量关系也还尤为重要。
练习十六的第1题启发学生用列表方法,再“倒推”解决。第2题重点是根据题意摘录条件进行整理。
“练习十六第1题,冬冬和芳芳原来共有60张画片,冬冬给了芳芳5张画片后,两人的画片同样多。原来两人各有多少张画片?”
“练习十六第2题,小娟和小磊做纸鹤,裁纸要用5分钟,折纸鹤要用25分钟,把纸鹤用线穿成一串要用10分钟。如果要在上午10时全部完成,那么他们最迟从什么时间开始动手做?”
经过三个层次的教学,不仅使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路,并能根据具体的问题确定合理的解题步骤,有效地解决问题,而且使学生在对自己解决问题过程的不断反思中,感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值,进一步发展分析、综合和简单推理的能力,进一步积累了解决问题的经验,增强解决问题的策略意识,获得了解决问题的成功体验,提高了学好数学的信心。
二、多策并举,让学生掌握多种解决问题的策略
数学的学习是建立在学生原有知识经验的基础上,学生在学习新的策略之前,已经学习过并掌握了一些解决问题的策略。那么学生在接触新的问题时,头脑中就已经有了解决问题的思想、策略和方法,他们是有准备地面对新的问题的。原有的策略是我们学习新的解决问题的策略的基础。在学习新策略时,我们要充分调动学生已有的策略经验,帮助新策略学习;而学习新策略的同时,也会进一步掌握原有的策略。学习一种解决问题的新策略的过程中,我们也可以同时学习其他的策略,提高学习数学的效率。鉴于上面的认识,在教学“倒推”策略的过程中,我们又加入了“画图”“列表”和“整理信息”等解决问题的策略的学习。
“画图”的策略是学生已经掌握的,为了让学生充分理解“倒回去看看”,我们启发学生画直观图表示出把乙杯中的40毫升果汁倒回甲杯的结果,学生经过正确的画图表示,很清楚地看出“现在”倒回“原来”后两杯果汁的变化情况,从而由现在两杯果汁的毫升数,想出原来两杯果汁各有多少毫升。运用“画图”的策略更好地帮助学生如何“倒过来推想”,而“画图”也可以帮助学生直接解决这个实际问题。在后面做“练一练”时,为了帮助学生理解“小军拿出画片的一半还多1张送给小明”的含义,我们还可以让学生运用“画图”的策略,画出线段图来表示,便于学生更好地理解数量关系。
在教学的过程中,为了帮助学生理解“倒推”策略,还要求学生运用“列表”的策略。例1学习中,学生经过画图想出原来的毫升数后,再让学生根据画图操作的过程和结果把教材中的表格填写完整,并要求学生边填边想表中的每个数据是怎么推算出来的。在做练习十六第1题时就可以直接提示学生用列表的方法帮助推理。
“整理信息”的策略是我们解决问题时经常用到的,也可以说,只要解决问题就离不开整理信息。例2中小明的邮票数从“原来”到“现在”发生了两次变化,为了便于学生理解,有必要从整理信息开始。教学中重点要抓住整理题目的条件这个环节,先按题意摘录条件进行整理,再倒过来推算。启发学生利用箭头表示数量变化的过程:“原有?张→又收集了24张→送给小军30张→还剩52张。”再用箭头表示“倒过来推算”的思考步骤:“原有?张←去掉又收集的24张←跟小军要回30张←还剩52张”。既利于学生理解,也便于学生操作。
在“倒推”策略学习的过程中,运用了“画图”“列表”和“整理信息”等解决问题的策略,不仅利于学生掌握“倒推”策略,也让学生体会不同策略在解决问题过程中的不同价值,达到学习多种解决问题的策略的目的,即“多策并举”地解决问题,解决问题中学习“多策”。
三、殊途同归,丰富学生解决问题的思想方法
同一问题可以用不同策略来解决,这就是殊途同归。在解决问题过程中,我们提倡学生能尝试用多种思路、方法去分析和解决问题,这不仅是学生多元解决问题的需要,更是培养学生数学思考能力的需要。在“倒推”策略例2学习的过程中,学生在掌握基本策略的基础上,我们可以从以下方面,启发学生多方位思考,寻找其他解决问题的策略。
第一,运用“综合法”对所给的条件从整体上进行分析。引导学生比较收集的张数和送出张数的相差数,学生根据思考习惯,也会想到由于收集的张数少,送出的张数多,因而剩下的张数要比原来的少。根据这个思路,学生会列出下面算式,并作出解答:“30-24=6(张),52+6=58(张),答:小明原来有58张邮票。”
第二,用“分析法”和“综合法”综合运用解决问题。“分析法”和“综合法”是学生解决数学问题的基本思路,运用“分析法”和“综合法”解决问题也是学生解决问题的思考习惯。我们在教学解决问题的策略时,既要关注非常规策略,也要兼顾常规策略,因为常规策略才是学生解决问题的常用策略和主要策略。在教学“练一练”中,学生从问题“小军原来有多少张画片”思考,认为只要用“送出的”加上“还剩的”即可求出“原来有多少张”。而通过综合分析,学生把“还多1张”当做“还剩的”,即还剩“26张”,那么原来张数的一半也是26张,用“26+26=52(张)”就解决了问题。除了运用“分析法”和“综合法”也还有其他的思路和方法能解决这个问题。当然教师要让学生在通过这些思路解决问题的基础上,把这些策略和方法与“倒推”策略进行充分的比较,让学生发现,这些实际问题用“倒推”策略解决比较好,从而进一步认识,能用“倒推”策略解决的问题的特点,也能更好地掌握“倒推”策略。
第三,利用和算术法有对立统一关系的方程来解决问题。“倒推”即按照事情发生发展的结果,有序倒推到原始状态。而学生对信息的理解顺序正常的是从原始状态开始,一直到事情的发生发展和结果。能用“倒推”策略解决的问题领域很广,而利用顺向思维来解决“倒推”策略能解决的有关数学计算问题莫过于方程了。当学生学习了两、三步计算的稍复杂的方程后,学生就能运用方程知识来解决“倒推”策略能解决的有关数学计算问题。要解决例2的实际问题,学生通过分析问题中数量间的相等关系,并依据相等关系就可以列出下面方程:“x-24+30=52”,解答出:“x=58。”方程和算术法是对立统一的关系,方程思想和“倒过来推想”的策略对学生的数学理解也是互为启示的。
如同我们提倡算法多样化一样,我们更倡导多方位思考,多策略解决问题,要在学习解决问题策略的同时,丰富学生解决问题的思想方法。
解决问题的策略的教学落实了《课程标准》关于数学思考的要求,从数学素养的培养角度看,也初步培养了学生思维的品质。从整体到部分解决实际问题经过两次抽象,先抽象成数学问题,再抽象出数学方法,解决问题的深刻性表现在对问题的解决方法的本质认识。同一策略可以解决不同问题,同一问题可以用不同策略来解决。“一策为主,多策并举”,能有效地帮助学生学习解决问题的策略,提高学生解决实际问题的能力,促进学生数学地思维。
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