在数学兴趣小组活动中,我们经常会教学到浓度问题,这部分内容是在学习了分数、百分数应用题后教学的。它主要涉及溶剂、溶质、溶液三者之间的关系,是对分数、百分数应用题很好的补充,这类问题中出现比较多的是两种不同浓度的溶液混合,求其中一种溶液的量或浓度。在这学期教学浓度问题时,出现了令我意想不到的情况。
一、奇妙的猜想
教学时,我先出示了一道作业题(相关例题前一节课已教)。
有甲、乙两种硫酸,甲种浓度是90%,乙种浓度是60%,现在要配制成浓度为70%的硫酸300克,每种硫酸各取多少克?
按照习惯的解法,我们总是把取出的其中一种浓度的硫酸设为未知数x,另一种浓度的硫酸为300-x,根据溶质相等列出方程90%x+60%(300-x)=70%×300,通过解方程得到结果:甲种硫酸取出100克,乙种硫酸取出200克。但是一个平时总喜欢耍点小聪明的谢同学的一番回答让课堂顿时沉寂下来。
谢同学:“老师,方程的解法太麻烦,我有更加简单的算法,得数和您的一样。”
我一愣,方程解答应该是最方便的解法,怎么还有其他更简便的解法?于是问他:你介绍一下你的解法。
谢同学:“如果两种硫酸的量相等,那么混合后的浓度一定是(60%+90%)÷2=75%。”
“为什么啊?”另一个学生调皮地问。
谢同学笑着回答:“他们的量相等,相当于我们两人你考试得了60分,我得了90分,那平均分一定是75分嘛。”
学生们都笑了,我也被他的事例和神态逗笑了,示意他继续说。
谢同学:“现在的混合浓度是70%,说明是甲种硫酸的量少,乙种硫酸的量多。”学生们都纷纷点头。谢同学:“甲种浓度与混合浓度的差是90%-70%=20%,乙种浓度与混合浓度的差是70%-60%=10%,20%∶10%=2∶1,把300克按2∶1的比例分配就得甲种硫酸100克,乙种硫酸200克。”
我边听边把算式写在黑板上,得数真的和方程解的一样,但这种算法我可是第一次见,一下子无法断定对不对,其余学生也都茫然地坐着,等我下结论。看着一双双企盼的眼神,我想说对又不敢。
正在我不知所措时,另有一位学生说:“老师,让我们用这样的方法再计算一道就可以知道对不对了。”
好办法,于是我请学生们用谢同学的方法计算第二道习题,结果发现得数和方程解的又是一样的!
这时有一位学生站起来:“老师,如果这种方法正确,那么取出的两种溶液数量比不就与这两种溶液与混合溶液浓度差的比成反比吗?”
二、探究发现
对啊,我也发现了这条规律。可是数学是严谨的,不能仅仅因为在两道题中适用就可以成为数学规律,这可能会发生不完全归纳的错误。于是我把问题又抛给了学生:“刚才你们有了一个伟大的猜想,可是要证明猜想是不是正确,光靠几道题是不行的,大家能不能想办法来证明一下?”
学生马上陷入思索中,很快有学生提出:我觉得这个猜想是正确的,比如说1个男生得了80分,4个女生的平均分是85分,4个女生各取出1分给男生,可得5个学生的平均分是84分,这里的男女生人数和他们与平均分的分差成反比例。
对于他的想法,大家都表示赞同,可是要从数学的角度证明还是有问题。这时又有一位学生站起来:“刚才他把浓度看成分数,那不如把浓度用一个字母来代替好了,反比例不正是用字母表示的吗?如果A×B=K(一定),A、B成反比例。”
这位同学的话给了大家很大的启发,于是以四人小组为单位纷纷开始演算,十分钟后惊喜开始出现,有一组学生给大家呈现以下的演算结果:
设甲种硫酸量为a,乙种硫酸量为b,混合后的硫酸浓度为c,甲种硫酸与混合后硫酸的浓度差为a′,乙种硫酸与混合后硫酸的浓度差为b′。,也就是甲、乙两种硫酸溶液量的比等于各自浓度与混合浓度的差的反比。
三、几点思考
1.教师是教学活动中的组织者和引导者,学生才是学习的主人。新课程强调以教促学。教的本质在于引导。浓度问题是小学数学中常见的题型,对于本课中提及的题目一些数学读本中都是用方程来解决的。我也受数学读本的影响,认为方程是解决这类问题的唯一方法,从没思考过其他的解法。但谢同学的发现,另辟蹊径,着实出乎我的意料。庆幸的是,我没有否定他的算法,也没有盲目地肯定,而是把球顺利的踢回给了学生,引领着他们一步步的探求出真知。在这节课中学生的主体地位得到了充分的发挥,教师适时的引导、激情的鼓励、真心的赞扬给了学生在课上展示智慧的空间。
2.探究应是数学教学的主要方法。任何一条数学性质的形成都必须经历猜想——探究——验证的过程。“填鸭式”的教学让学生被动地接受数学规律,这样的教学学生获得的都是机械的、无生命力的数学知识。新课程强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。本课中谢同学对自己的发现在理解上是肤浅的,只是把从平均数问题计算中发现的小窍门生搬硬套地应用到浓度问题的计算中(当然一个小学生能有这样的能力已是相当了不起了),而不知这样算的原理。教师对于在课堂上出现的意外情况并没有像很多教师一样留作课后问题,而是以自己对数学的理解带领学生探寻原理,让学生经历了一次数学模型建立的过程。从小处上说学生对这条数学性质的理解是深刻的,更重要的是学生亲身经历了探究数学知识的过程,这样的数学课堂才具有真正的生命力。
3.数学课程应当是具有生活味和数学味的一门课程。数学来源于生活又应用于生活,脱离生活的数学就像一潭死水,久之必然枯竭。数学课堂上的教学内容、教学方法、教学语言也应贴近学生的生活实际,就如谢同学笑着回答:“他们的量相等,相当于我们两人你考试得了60分,我得了90分,那平均分一定是75分嘛。”恰如其分的比方,诠释了算理,拉近了数学与生活的距离。当然不能为了在课堂上体现生活实际而丢弃了数学味,像推理、验证数学规律还是要从纯数学的角度来展示的。让数学课堂中充满生活味和数学味并有效结合,还需要我们数学教师共同努力。
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