郑毓信教授对《植树问题》的解读
一、“归类(模式的建构)”与“分类”
首先应当指明，就“植树问题”这一内容的教学而言，事实上涉及了两种不同的数学活动：其一，以“植树问题”为(现实)原型引出普遍性的数学模式(例如，可以称为“分隔问题”)，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等。其二，对于上面所提到的每一个问题，我们又都可区分出三种不同的情况，就“植树问题”而言，这也就是所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”。现在的问题是：就上述的这两种活动而言，究竟何者应当成为这一教学活动的重点?什么又是这一教学活动的真正难点?
由于笔者并未实际从事过这方面的教学实践，对于上述问题就很难作出最终的解答；但在笔者看来，这无疑又是这方面最为基本的一个事实：如果学生未能清楚地认识到路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，那么，对他们来说“这究竟属于‘植树问题’中的哪个类型啊”这样的问题就是完全没有意义的，从而，在这样的意义上，我们也就可以说，上述的“模式建构(与应用)”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性(对此在以下还将作出进一步的沦证)，从而在教学上我们也就应当对于前者予以更大的关注。
例如，以下的一些“教学体会”或许也就可以被看成对于上述结论的一个旁证：“有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律……”进而，也正是从这一角度去分析，笔者认为，就这一内容的教学而言，尽管“植树问题”可以被看成提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中我们又必须超出这一特定情境而引出普遍的数学模式。例如，从这样的角度去分析，如何能够帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构就是十分重要的；进而，就后一目标的实现而言，以下一些教学设计又是十分恰当的。如在教学中明确提出“分隔问题”这样一个概念，并清楚地总结出相关的计算法则“路的长度÷间隔长度＝间隔数”，又能够利用适当的图形或符号以帮助学生很好地建构起相应的数学模式，包括通过正反两个方面的练习帮助学生更好地去掌握这一模式。(如同时出现已知路长和间隔米数求路灯数，已知间隔米数和路灯座数求路长。)
二、规律的“机械应用”与思维的灵活性
这里所涉及的主要是这样一个问题：即使不是在上述的对比意义上，我们在教学中又是否应当对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分予以特别的重视，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则(“加一”“不加不减”“减一”)从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。
在对上述问题作出明确解答前，我们或许可以先来思考这样一个问题：就“植树问题”而言，是否真的就只有“两端都种”“只种一端”“两端都不种”这样三种情况。进而，如果在现实中我们所面对的是以下一些“特殊情况”，如“由于中间是大门，因此就有若干个间隔不需要种树……”，或“如果要求在两端都种两棵树……”，或“要求间隔地种树与种花……”，我们又应如何去做。特别是，在所说的情况下我们是否也应要求学生总结出相关的类型，包括牢牢地去记住相应的“规律”(“加二”“减二”“乘二”“除二”)。
我想上面的论述已经十分清楚地表明，将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当。毋宁说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想，就“植树问题”进行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系。进而，所谓的“加一”“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化，从而，在此真正需要的也就并非“规律的应用”，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。(更为一般地说，这也就是指，“基本技能不应求全，而应求变”。)
综上可见，就“植树问题”的教学而言，我们事实上应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：第一，突出“分隔问题”，即如何能以“植树问题”为背景并通过适当的教学手段帮助学生建构相应的数学模式；第二，明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础并通过适当变化以求解各种变化了的情况。进而，对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分我们则不必过于强调，更不应将相应的计算法则看成是重要的规律乃至要求学生牢牢地去记住并能不假思索地加以应用。
再者，笔者认为，以上的分析事实上也就表明：相对于“化归思想的渗透”这一提法而言，我们事实上应当更加重视“模式化”与“一一对应”的思想。当然，对于后者在教学中究竟应当明确提及还是停留于渗透这样一个问题，我想就只有依据更多的教学实践与认真的总结才能作出正确的解答。
三、现实原型与数学模式
以下再从更为一般的角度对“现实原型”与“数学模式”之间的关系做一简要的分析。
众所周知，对于“情境设置”特别是现实情境的突出强调正是课改以来教学方法改革的一个明显特点。当然，与最初的简单化认识相比，人们现已形成了这种的共识：我们既应明确肯定现实情境对于新的数学学习活动的积极意义，同时又应清楚地看到“超越”现实情境以实现数学抽象的重要性，这也就是指，数学教学既应重视情境设置，同时又必须“去情境化”，即应当帮助学生实现必要的抽象。
显然，上述的认识事实上也为我们很好地去处理“植树问题”与“分隔问题”(指相应的数学模式)的关系指明了基本原则。另外，在笔者看来，由“植树问题”我们可获得关于究竟什么是一个好的“情境设置”的有益启示，这就是指，就相关内容的教学而言，特定情境的设置不应仅仅起到“敲门砖”的作用，即仅仅有益于调动学生的学习积极性，也应当在课程的进一步开展中自始至终发挥一定的导向作用。
值得指出的是，一些学者因此而提出了“认知基础”这样一个概念，即认为在数学的教学活动中我们应当努力去发现这样的实例，它们既是学生所熟悉的，同时又能为新的抽象活动提供合适的基础——具有这种双重性质的实例就是所谓的“认知基础”；进而，与此直接相关的还有所谓的“范例教学法”，而后者的核心思想也就在于如何能够很好地处理特殊与一般(“范例”与新的数学抽象)之间的辩证关系。
例如，美国已故著名数学教育家戴维斯在《数学学习：数学教育的认知科学研究》一书中就曾给出过关于如何利用“范式教学法”去进行负数教学的一个实例。他明确指出，一个好的“认知基础”应当具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则，这也就是说，借助于相关的“认知基础”，学生即可十分顺利地去作出相应的发现而无须依靠对于相关法则的简单记忆与机械应用才能解决所面临的新的类似问题。显然，后一结论事实上也就更为清楚地表明了这样一点：就“植树问题”的教学而言，与其说三种类型(“两端都种”“只种一端”“两端都不种”)特别是相应的计算法则确实不应被看成某种必须死记硬背的规律或法则，毋宁说，在面对新的类似问题时，这主要地只应发挥一种“认知基础”的作用，即能够“自动地”去指明相关的运算法则，包括如何能够依据新的变化了的条件(如“中间不种”等)作出适当的调整。
最后，也正是从这样的角度去分析，我们又可看出，“原型”的恰当性与相应的教学目标也有很大的关系。例如，如果与“分隔问题”相比，我们更加重视如何能够帮助学生很好地去掌握“一一对应”的思想，那么，所谓的“一一间隔”(例如，黄白间隔排列的一串乒乓球，男女生间隔排列的一列学生，等等)与“植树问题”相比可能就更为恰当。(值得提及的是，以下也正是相关教师对于这一教学活动的一个反思，而这与上面的分析显然是十分一致的：“通过改变问题的已知条件，体现一题多练，通过对比让学生发现解决问题不是一味地‘加一’或‘减一，，而是要看清已知条件和所求的问题。”)容易看出，后一分析事实上也就清楚地表明了这样一点：为了搞好数学教学，我们应当深入研究教材，但这又并非是指为教材所拘，而是应当创造性地去进行教学。
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