一道积幻方问题解题思路的分析

 

　　这是人民教育出版社新课标教材四年级上册第48页的思考题。
　　这道思考题实质上是一个积幻方问题。
　　如何找到适合小学四年级学生知识水平的解题方法呢?
　　分析：由于要使三角形每条边上3个数的积都相等，而10、15、20、30、40、60这六个数每个数都含有质因数5，所以只需要考虑2、3、4、6、8、12这六个数。问题转化为：
　　将2、3、4、6、8、12填入上图圆圈内，使三角形每条边上3个数的积都相等。
　　解题思路l：试验分析调整。
　　试验：把2、3、4、6、8、12依次填入所给的6个空中，如图1所示。
　　图1
　　分析调整：对图1中的2、3、4与2、12、8来说，由于2×3×4<2×12×8，2公有，所以可以考虑3与12交换。如图2所示。
　　图2
　　对图2中的4、6、8 与8、3、2来说，由于4×6×8>8×3×2，而8公有，所以可以考虑3与6交换。如图3所示。
　　图3
　　这样2×12×4=4×3×8=8×6×2，图3已经调整到位。
　　试验时也可以从大到小把12、8、6、4、3、2依次填入所给的6个空中，然后再分析调整，也可以得到如图4的填法。
　　图4
　　解题思路2：逻辑推理。
　　假设如图5是满足题设条件的填法。a、b、c、d、e、f是2、3、4、6、8、12中的数。
　　图5
　　由于a×b×c=c×d×e=e×f×a=A，所以a×b×c×c×d×e×e×f×a=A3，即有：
　　(a×b×c×d×e×f)×(a×c×e)=A3，但是a×b×c×d×e×f=2×3×4×6×8×12=243。所以a×c×e=（）3
　　方法1：由a×c×e=（）3，知a×c×e是一个完全立方数，而在2、3、4、6、8、12中只有2×4×8=43，3×6×12=63。所以a、c、e为2、4、8或3、6、12。
　　当a、c、e为2、4、8时，由43=（）3知：幻积A=96，可以得到如图3的填法。
　　当a、c、e为3、6、12时，由63=()3知：幻积A=144，可以得到如图4的填法。
　　方法2：由a×c×e=（）3知A是24的倍数。但是a×c×e≥2×3×4=24>8=23，所以>2；又a×c×e≤12×8×6=576<729=93 所以<9。故知：3≤≤8。A=72、96、120、144、168、192。
　　当A=72时，a×c×e=33。，没有符合条件的a、c、e。
　　当A=96时，a×c×e=43，符合条件的a、c、e为2、4、8。可以得到图3的填法。
　　当A=120时，a×c×e=53，没有符合条件的a、c、e。
　　当A=144时，a×c×e=63，符合条件的a、c、e为3、6、12。可以得到图4的填法。
　　当A=168时，a×c×e=73，没有符合条件的a、c、e。
　　当A=192时，a×c×e=83，没有符合条件的a、c、e。
　　总之，不管是解题思路1、解题思路2还是其他解题思路，得到原问题的解都是下面的图6和图7。
　　如果把原题中的10、15、20、30、40、60这六个数转化为1、1．5、2、3、4、6，那么在运用试验分析调整的方法时更便于口算。