●教师的话●
例谈算理和算法的有效结合
魏红（璧光小学）：算理和算法是算术运算中相辅相成、密不可分的两个方面。简言之，算法就是计算方法，而算理则是计算的道理、依据，它们分别解决“怎样算”和“为什么这样算”的问题。在小学数学教学中，要根据学段的不同恰当处理好算理和算法的关系。如何使二者有机地结合起来呢？
1.算理与解决问题有效结合。新课程教学注重“算用”结合，给计算教学提供了具体的生活情境，因为只有在现实的情境中学生才会感到计算的价值和意义，计算才会成为解决问题的手段。例如，在这次研讨活动中，有一位老师执教二年级“求比一个数少（多）几的数”，较好地解决了上述问题，现撷取片段如下：
师（创设问题情境）：这是我们学校的“全校卫生评比统计图”。同学们别小看这块黑板，里面蕴藏着许多数学信息呢！你能数一数图中二（2）班有几面小红旗吗？
生：有12面。
师：二（1）班的红旗数和二（2）班的一样多，二（1）班有几面小红旗？
生：有12面。
（出示课件：树丛遮住二（3）班的红旗数一部分。）
师：我们要想知道二（3）班的红旗数，怎么数？
生1：无法数。因为二（3）班的红旗被树丛遮住了一部分。
生2：不能用数的方法确定红旗的面数。
师：你能根据图中的数学信息，算出二（3）班的红旗数吗？
生：二（3）班比二（2）班少4面，用减法计算，12-4=8（面）。
师：你能根据给出的信息，算出二（4）班的红旗数吗？
生：二（4）班比二（2）班多4面，用加法计算，12+4=16（面）。
对于用一步计算解决的实际问题，课改前的数学教学大纲和教材要求学生用严密的数学思维进行推理。如上述案例用减法解决的道理是：求红花比黄花多多少朵，说明红花多。可以把红花分成两部分，一部分和黄花同样多，另一部分是比黄花多的，从红花的朵数中去掉和黄花同样多的朵数，就是红花比黄花多的朵数。这个推理过程常令许多学生对数学应用题望而却步，教师也很苦恼。《数学课程标准（实验稿）》强调，学生面对不同的实际问题，要根据生活经验和对加、减、乘、除法意义的认识来确定解决的方法、策略。在上述片段中，学生根据已有的生活经验及对统计图的观察，直观地领悟到，只要从12里减去4，就可以知道比12面少4面是多少面；用12+4就可以知道比12面多4面是多少面。这样，在老师引导下学生通过联系主题图，直观明了地理解了抽象的算理，就能根据加、减法的意义很快列出算式。
2.算理直观与算法抽象有效结合。在课程标准实验教材中，“计算教学”步骤大致分为：情境导入——探索算法——比较提炼——明确算理——巩固练习。我们在教学中应该如何处理算法和算理的关系？听了这次研讨活动中“分桃子——笔算两位数除以一位数”的教学，我觉得教师在处理算理直观与算法抽象的有效结合上，做得比较好。这节课突破难点的片段如下：
师：要把48个桃子平均分给2只猴子，每只猴子分到几个呢？怎样列式？
生：“平均分”要用除法算，列式是48÷2=24（个）。
师：你是怎样思考的？
生1：先算40÷2=20，再算8÷2=4，20+4=24，所以48÷2=24（个）。
生2：我是用分小棒帮助算的。先把4捆小棒分成两堆，就是4÷2=2（个十），再把拆散的8根小棒平均分成两堆，就是8÷2=4（个），然后把两次分的加起来，就是20+4=24（个）。
师：用竖式怎么计算呢？
（学生结合分小棒的过程，写出竖式，并说出每步竖式的含义。）
师：把48个桃子平均分给3只小猴子，每只小猴子分几个？
生：我是这样列式，48÷3。
〔教师演示：把4篮桃子分给3只小猴，每只小猴分得1篮（10个），还剩下1篮，把这1篮倒出和余下的8个桃子合成18个桃子，再平均分给3只小猴子，每只分得6个，10+6=16（个）。〕
执教老师在演示中把剩余的一篮桃子倒出来，这一“倒”直观地突破了本节课的难点，即十位上的余数与个位上的数合起来再平均分。接着，让学生总结“除数是一位数的除法”的计算方法就水到渠成了。在这个案例中，老师注重了算理直观与算法抽象的有效结合，让学生在经历分桃子的过程中，直观地理解算理，并掌握了竖式的计算方法，学生学得轻松，理解透彻。
3.“理”与“法”不可分割。算理与算法从来都是一个不可分割的整体，我们很难想象纯算理的课该如何演绎，纯算法的课又该怎样训练。有经验的教师总是在分析算理的同时渗透算法，并及时组织练习。如，这次研讨活动中展示的“三位数乘两位数”这节课的执教老师就很好地处理了“理”与“法”的结合。
教学片段如下：
师：114×21，用竖式怎么计算？
（学生各自练习后，指名一学生回答。）
师（指着竖式）：你先用1×114，是求什么？
生：运行一圈所用的时间。
师：再用20×114又是什么？
生：运行20圈所用的时间。
师：两次的乘积加起来又是算什么？
生：21圈所用的时间。
师：2280表示什么？2394又表示什么？
……
教师把“理”和“法”有机结合起来，让学生依次说出每一步计算的意义，说明学生对竖式计算的算理有了较明确的把握。
“购物”教学中算理和算法的处理
朱云会（昆明市宜良县匡山小学）：理解算理和掌握算法是计算教学的两个重点。学生明确了算理，掌握了算法，才能灵活、简便地进行计算，算法的多样化才有基础。“购物”是义务教育课程标准实验教材北师大版三年级上册的内容，主要解决两、三位数乘一位数（不进位）的笔算乘法。它是在口算百以内两位数乘一位数的基础上进行教学的。三年级学生理解算理比较困难，只有用直观的教学手段才能把抽象的算理具体化。在教学中，我适当改变教材的情境图，创设了“花果山的小猴子摘桃子”的情境，让学生根据情境图中的信息提出问题：“4只小猴一共摘了几个桃子？”在学生列出算式12×4后，引导他们在独立思考及与同伴交流的过程中，进一步探索两、三位数乘一位数（不进位）的笔算方法。
要使学生会算，必须使他们明确怎样算？为什么这样算？如果直接告诉学生“应该怎样算”，学生就失去了独立思考和深层感悟的机会，导致学生知其然，而不知其所以然。所以我很重视学生初学乘法竖式时对12×4算理的理解。12×4可以怎样算？有学生说用口算；有学生说用加法竖式算；也有学生说用乘法竖式算……我有意让用乘法竖式算的学生板书，并让他们说说是怎么算的。当学生对算理还含混不清时，我及时引导他们对照主题图直观理解算理。
师：4×2算的是图上哪部分的桃子？
生：是篮子外的桃子。
师：有几个2？
生：有4个2。
（引导学生看竖式。）
师：有4个2，所以先用4乘个位上的2得到8，写在积的哪位上？为什么？
生：用4乘个位上的2得到的8，是8个一，所以要写在个位上。
师：算完4乘2，还要算什么？
生：4乘十位上的1。
（引导学生看竖式。）
师：4个十可以这样看，用4乘十位上的1，得到4个十，所以4要写在积的十位上。
接着我再让学生观察、比较加法竖式与乘法竖式计算的相同点与不同点。通过比较，让学生加深对算理的理解。理解了两位数乘一位数竖式计算的算理后，学生算213×2就不再是机械模仿，做起来感觉很轻松。
理解算理的目的是让学生更好地掌握计算方法。因此，在理解了乘法竖式计算的算理后，我让学生独立思考后在小组中讨论交流，想一想：竖式计算乘法时要注意什么？引导学生用自己的话表述出来，体验从直观到抽象的数学化过程，强化对算理的理解和对算法的切实把握，促进了学生抽象思维能力的发展。
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