《数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)在明确义务教育阶段数学课程的总目标时,从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面作出了进一步的阐述。课改以来,一线的老师们往往对知识与技能、情感与态度这两个方面的目标关注甚多,而对解决问题和数学思考两方面则关注较少。“形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”是《标准》确定的解决问题方面的课程目标之一。苏教版课程标准数学实验教材(以下简称苏教版课标实验教材)从四年级(上册)起,每一册都编排一个“解决问题的策略”单元,就是为了更好地落实这一课程目标。解决问题的策略是在长期的数学教学中,通过大量发现问题、思考问题、解决问题的活动逐渐培养的,其实这样的过程就是“数学化”的过程。
一、关注问题与生活的关联——注重问题情景的创设
为了让学生在数学活动中提高理解能力,增强数学的应用意识,必须让数学问题向生活贴近。如在“求石头的体积”的教学活动课上,老师设置“乌鸦喝水”的情境,这是与学生已有生活经验十分相联的情境。
师出示一块石头,提问:同学们已学习了有关体积的知识,你们能算出这块石头的体积吗?
同学们观看了石头,回答说:算不出来。
师:为什么呢?
生1:这块石头是一个不规则的物体。
生2:你无法知道求出它体积的所需条件。
师:现在我们看一看“乌鸦喝水”的动画片,看从中能不能受到什么启发。
师生观看动画片。
师:乌鸦是怎么喝到瓶子里的水的?
生1:瓶子里有了石头,把水挤上来了。
生2:石头在瓶子里也占有空间,所以水位升上来了。
师:你们能从中想出求石头体积的方法吗?
生1:水上升的体积也就是石头的体积,只要算出水上升的体积就能知道石头的体积。
生2:瓶子形状上下不一样,怎么去算呢?
停了停,有同学想出:把石头放入一个有水的长方体或圆柱体的容器里,问题就可以得到解决。
大家都赞同这一做法,老师拿出盛着水的长方体和圆柱体容器,让学生把石头放进去进行试验,进行验证。
接着要求学生说一说,为什么石头放在有水的长方体或圆柱体容器中就能求出它们的体积?
生1:石头在水中占据了空间,上升的水就是石头所占的空间,两者体积相等。
生2:石头是不规则的物体,但放到有水的规则容器里,石头体积可以转化为规则物体的体积。
生3:在有水的规则容器中,上升的水和石头的体积相符,也是“等积变形”在“体积”中的运用。
师:懂得了这些,求石头体积还能想到不同的方法吗?
生1:也可将石头放入水中,量出水的高度,然后取出石头算出水下降了多少求出石头体积。
师:还能想到其他方法吗?
接着学生想到的还有:
1.将石头放入长方体或圆柱体的容器里,用沙子填满求出总体积,再取出石头求出沙子的体积,然后求出石头的体积。
2.用橡皮泥先将石头围裹成长方体求出体积,再取出石头,将橡皮泥搓成长方体算出体积后,从中求出石头的体积。
二、关注解决问题的一般过程——注重学生问题意识的培养
爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”;“只有善于发现问题和提出问题的人,才能产生创新的冲动”。 无论是课堂的教学活动中,学校的学习环境中,还是家庭的日常生活中,都存在着值得研究的数学问题。教师要注意引导学生去发现和提出各种数学问题。
尤其在课堂教学中,要注意改变由教师为主提出问题、解决问题的传统教学模式,努力激发学生主动地发现问题、提出问题,进而运用已有的知识和经验寻找策略解决问题的积极性,培养学生自觉主动地用数学眼光看待生活中的问题。
问题解决教学从问题开始,其展开也应紧紧围绕问题,在让学生经历解决问题的一般过程中,学会分析和解决问题。这与教材类型化教学不同的是:教师关注角度发生了质的变化。即教学时将解决问题教学和运算教学结合起来,让学生从问题情境与运算意义的角度出发进行思考,而不是从简单的类型、结构出发进行思考。如以学校实际呈现的简单问题:实验小学合唱队有女生40人,男生20人,?(提出一个问题并解答)以你能解决吗?为什么这样做?让学生根据运算的意义深入理解算法;再以解决这些问题时都是怎样想的?来揭示解决问题的一般过程。同时期待学生在从加、减、乘、除意义的基础上,可以提出不同的问题;并且明白“有两个信息可以解决一个问题,解决一个问题一般需要两个信息”。
三、关注问题解决过程的评价与反思——注重数学基本数量关系的理解和应用
问题解决是一种带有创造性的高级心理活动,其核心是思考与探索。认知心理学家认为,问题解决有两种基本类型:一是需要产生新的程序的问题解决,属于创造性问题解决;一是运用已知或现成程序的问题解决,是常规性问题解决。数学中的问题解决一般属于创造性问题解决,不仅需要构建适当的程序达到问题的目标,而且更侧重于探索达到目标的过程。
在学生能够根据加、减、乘、除意义解决简单问题的基础上,有必要注重给学生渗透一些基本数量关系。比如:
学校女教师46人,比男教师多37人,男教师有多少人?
实验小学合唱队有女生40人,是男生人数韵2倍,男生多少人?
在此基础上我们又能前进一步:
李老师给计算机室买了4台同样的电脑,每台4500元,带20000元够吗?
学校女教师46人,比男教师多37人,学校共有教师多少人?
实验小学合唱队有女生40人,是男生人数的2倍,女生比男生多多少人?
在学生独立解决之后,教师让学生进行问题间的对比,发现问题间的内在联系。这样的呈现方式,让学生在经历了解决问题——对比发现——形成解决问题策略的整个探究活动中加深了对问题数量关系的理解,加深了对运算顺序的理解。
学生解决问题的需求不再是把问题和类型相联系,而是将思考情境中的问题与数学意义相联系,在这一过程中获得对数学知识的进一步理解,经历解决问题的一般感受与体验。在这个过程中,学生才能更好地发展他们的数学概念和思维能力,逐步完善他们解决问题的能力。
四、关注问题解决过程的策略与方法——注重解决问题的思想和方法的渗透
解题策略对于学生来说是非常重要的,而对结果的及时反思也是非常重要的。弗赖登塔尔强调:“反思是数学的重要活动,它是数学活动的核心和动力。”反思是通过从一个新的角度,多层次、多角度地对问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。它是发现的源泉,是训练思维、优化思维品质、促进知识同化和迁移的极好途径。通过对解决问题的追问与反思,可以加深对问题的理解并获得解决问题的经验。
课堂教学中,我们从问题入手思考还是从信息着手?怎么想?怎么做?这样的方式适合吗?哪种方法更好?对这些问题的思索过程,其价值指向并不是问题的结果,而是解决问题的方法与策略,是学生将策略内化为数学素养的过程。教师关注问题解决的过程,能满足学生形成较好的方法意识和策略意识的需求。这种需求,对学生自身解决实际问题能力的形成和发展起着至关重要的作用。而语言又是学生思维的直接反映,并在一定程度上促进着思维的发展。因此,教师应注重对学生解决问题的思想和方法的逐步渗透。
课堂上教师问题的设计常常是由浅入深,逐步展开的。学生对于较复杂的数学问题的思考也有一个一步步深入的过程。在理答学生思路时,教师要抓住关键,把握时机启发、引导,要善于运用追问、反思、探询的方法帮助学生更深入思考,给出更完整的答案,最终达到满意的效果。
一位教师在“找规律”中,学生在经过了自主探索用文字、数学、字母、图形、符号等自己喜欢的方法表示有规律排列的过程后,教师接着问:“除了刚才同学们用到的这些方法外,你还有什么方法可以很快得出第15个是什么呢?”学生联系已有的知识经验基础,十分顺利地得出可以用余数除法来解决这类问题:“要求第多少个是什么,先看它几个一组,再用总个数除以每组的个数;余数是几,就是一组的第几个,没有余数就是一组的最后一个。”教师进一步延伸问题:“在计算这些方法中,你喜欢用什么方法?”学生众口一词:“计算好,因为简单。”如同强调算法多样化与最优化的统一一样,在解决“找规律”问题时,除了提倡策略的多样化之外,同样要注意策略的最优化。因此教师反问:那么其他方法一点好处都没有吗?学生慢慢体会有人就说了:“文字、图形那些方法比较清楚方便,一眼就能看清楚;但是麻烦,数字大了怎么画呀!”各种意见进行碰撞,最后形成一致看法:“如果数字小,我们就可以选择图形、文字、数、字母等方法,比较直观;如果数字大了,肯定就用计算的方法比较好。”教师这种追问或反思的价值和意义极高,它不是平面的追问,而是纵向的深层次追问,一种由表及里的追问。通过追问,教师启发学生将不同方法进行类比,提炼出解决问题策略的最优方法。
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