“解决问题的策略”是苏教版义务教育课程标准小学数学实验教材中的一组崭新而富有个性特色的内容。对于它的教学颇有思考与研究的价值,现就教学中部分环节的处理策略,谈一些见解。
一、策略应问题解决而生
解决问题的策略必须应问题解决的需要自然产生,应当在解决具体、实际问题的过程中逐渐生成。学生面临需要解决的问题,就会有解决问题的思考、思路和方法、策略。不同的问题情境会引发学生不同思考(包括思考的内容、方式、状态和结果)和不同的学习、探究活动,导致策略教学的不同效果。如对于五年级上册一一列举策略例1(王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈,有多少种不同的围法?)的教学,有的老师开门见山,根据例题中提出的问题,直接引导学生通过摆小棒、画示意图和填表等操作,寻找各种不同的围法,启发学生去一一列举,并从中具体感受、体验和领悟一一列举的方法、要领、注意点等基本内涵。在老师的启发和与同伴的交流中,学生不仅顺利地解决了“有多少种不同的围法”的问题,而且从中领悟了什么是一一列举、怎样进行一一列举和一一列举的特点、注意点等。然而,严格地讲这只能算是比较成功的解决问题的教学,而不能算是成功的“解决问题的策略”的教学。学生只是通过解决问题了解了一一列举的策略,知道什么是一一列举、怎样进行一一列举,而不知道或并不十分清楚书本和老师为什么要让我们去一一列举、一一列举有什么作用、以后再面临什么样的问题情境时我就用一一列举的策略去解决问题。说到底,他们并未真正拥有这一策略。
为弥补这些不足,我想可以作以下补充、修改和微调:呈现“王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈”的信息→引导学生分析,发现长方形的围法有多种→老师追问其中哪一种的面积最大、是多少→学生找寻到自己认为的最大、老师再以怀疑的口吻质疑——是最大吗、你有什么办法验证、说明呢→学生设法验证与答辩、说明(促使学生一一列举,因为此时仅当此策最为合适、贴切、简明、有效)→交流、概括,揭示一一列举的策略(包括有序、不重复、不遗漏等要点)→反思寻找与验证“最大”过程,议议为什么要一一列举、不一一列举行不行,说说一一列举的要点、特点、作用→举例说明在什么情况下可用一一列举的策略解决问题(求极值——最大与最小或寻找所有的情况等)。这样,变单一的“有多少种不同的围法”的问题为一系列与一一列举策略相关的问题情境,环环相扣,层层深入,蓄势给学生以一一列举的策略性启示、心理驱动与实施的时空条件,有效地促使学生从产生一一列举的意向到自觉而能动地采用一一列举的方法解决问题。其间,学生对于在什么情况下应当进行一一列举的感悟非常地具体、翔实、真切,同时对于为什么要进行一一列举、一一列举有什么价值、作用的体验也非常地深刻和到位。
“解决问题的策略”的教学,关键在于为学生创设适切、典型而具体的问题情境,让学生身临其境,从生活素材中“发现问题”,在对生活问题数学化的信息处理中“明确问题”,在分析问题、“提出假设”的过程中生成解决问题的策略,在解决问题、“检验假设”的过程中体味策略的内涵、特征和本质,在反思假设的提出与假设的检验的过程中感悟策略的价值作用,产生对策略的情感,形成策略的应用意识。
二、策略因问题特征而异
问题解决者只有对解决问题的策略的特点、问题本质内涵都有一定程度的把握时,才会在头脑中建立起相应的对应关系或联结反应。并且也只有在真切领悟解决问题的策略的价值、作用,形成了一定的策略意识后,才会有运用策略解决问题的内驱与激情。只有当学生能够能动地、独立地、自如地建立起对应关系或联结反应时,解决问题的策略才算是植根于他们的心田——为他们真正所拥有。因此,当学生初步领悟了某一策略时,要注意做好两个方面的强化:第一个方面,进一步强化对策略特质(内涵、特征、本质)的体验、感悟。在例题教学的最后环节,当学生用策略解决了某个问题后,组织他们对运用策略解决问题的过程、要领、特点及价值、作用进行反思、交流、提炼、概括,帮助他们在头脑中建立起“解决问题的策略”的数学模型的同时,养成和强化运用策略解决问题的应用意识。例如在学生初步领悟了画图策略后,组织学生讨论:解决这个问题我们采用了什么策略(画图)?你们怎么会想到画图的?采用画图的策略有什么好处(引导比较画图前后的感受)?画图时应注意些什么?怎样的问题适宜采用画图这种策略来解决?第二个方面,强化对策略所适用的问题情境的辨认能力。创设一些相同、类似、相近和貌似相同而其实不同的问题情境,让学生在分析、比较后作出取舍判断,确定哪个问题适合应用这一策略解决,并说出判断的依据,取舍的理由。(如出示1.粮店原有一些大米,第一天卖出2500千克,又运进1500千克,第二天卖出2000千克,还剩5000千克,粮店原有大米多少千克?2.粮店原有8000千克大米,第一天卖出2500千克,又运进1500千克,第二天卖出2000千克,还剩多少千克大米?让学生说说哪个问题适宜用倒过来推想的策略来解决问题,为什么?)继而,更进一步,说说怎样的问题可以用这一策略解决和这一策略适合于解决哪些(类)问题;然后让学生同时面对几个不同的问题情境,并向他们提供几种不同的解决问题的策略,引导他们在分析、比较的基础上进行选择匹配(比如采用连线题的形式),并阐述匹配的理由。这样,帮助学生在丰富和强化对策略的感性认识的基础上逐步升华为理性认识,从对策略的体验、领悟的认识层面过渡到应对、解决实际问题的实践层面。
三、策略为解决问题而用
“解决问题的策略”教学的最终归宿在于使学生具有解决问题的策略意识、眼光和敏锐,拥有解决问题的策略,具备灵活运用策略解决问题的能力。在学生学习了一些解决问题的策略后,一般都要让他们通过经历实际运用的演绎过程来促进其强化、深化和系统化。同时,进一步积累解决问题的经验,获得应用策略解决问题的成功体验,提升对策略价值的领悟程度,增进对策略的情感,增强解决问题的策略意识。
学生运用已有策略解决实际问题的过程,其实质是能动地对所面临的问题进行分析、类化并与自己已有的解决问题的策略储备中相关的策略建立联系,作出合乎一定逻辑的判断、推理的具体演绎过程。这一过程,对于不同的学生而言,可能是一种简单的机械模仿,可能是一种自如的灵活运用,也可能是一种个性化的自主创造。显然,对问题情境分析、理解与类化的不同,在问题情境与解题策略之间建立的联系的不同,甚至于仅仅是推理形式的不同,都将会有不同的具体演绎过程和形式。如有的老师在“解决问题的策略”的复习课上向学生呈现了这样一个问题:某登山运动员进行登山训练,上山每小时行4千米,下山每小时行5千米。他从山脚到山顶并立即原路返回共用了9小时。求山路长。要求学生运用策略解决问题,并说明运用的策略和解决问题的思路。
学生甲:我用假设的策略。假设山路长20千米。先求出运动员的平均速度——20×2÷(20÷4+20÷5)=40/9(千米);再求山路长——40/9×9÷2=20(千米)。
学生乙:我用画图的策略。
从图中可以看出,如果山路长1千米,上、下山每行这样的1千米就要用+=(小时); 运动员上、下山共用了9小时,所以山路长——9÷=20(千米)
学生丙:我用倒推的策略。我的算式和乙相同,但想法不一样。上山每小时行4千米,倒过来推想,每行1千米就用1÷4=小时;下山每小时行5千米,倒过来推想,每行1千米就用1÷5=小时,每上、下1千米的山路都要用+=(小时)……
学生丁:我用转化的策略。下山速度是上山的5÷4=1.5倍,可以转化成上山的时间是下山的1.5倍,上、下山总时间9小时,相当于上山时间的(1+1.5)倍,所以上山的时间是9÷(1+1.5)=5(小时),山路长是4×5=20(千米)
学生戊:我也用转化的策略。上、下山速度的比是4∶5,上、下山的路相同,所用的时间的比可以通过速度的比转化得到,是5∶4,也就是上山用5份的时间,下山用4份的时间。所以上山用的时间是9÷(4+5)×5=5(小时);山路长是4×5=20(千米)。
学生己:我与丁和戊还有丙用的策略都有相同的地方,也有不同的地方。上山速度是下山的,反过来推想下山时间就是上山的,那么,下山时间是9÷(1+)=4(小时),山路长5×4=20(千米)
学生庚:我用方程的策略。
设山路长x千米,x÷4+x÷5=9,x=20,山路长20千米。
显然,学生解决问题的策略是多样的,对策略演绎的过程、形式和方法更是丰富的,富有个性的,甚至是具有创造性的。学生乙自认为的画图策略与丙自认为的倒推策略,其实都属于转化策略中的正难则反思想方法的不同演绎;还有学生甲所说的假设策略、庚所说的方程策略以及己所用的转化兼反推的策略,教材中都从未提及过。这些,对于学生来说不能不说是个性化的创造。因此,在解决问题时,对具体运用哪种策略应不作要求,只要是为解决问题而用,是合理的、能够用以解决问题的都行,学生喜欢什么策略和形式、方法,倾向于什么策略和形式、方法,都是他们价值取向与学习智慧的个性化体现,都应该受到尊重,甚至有某些不足也要有所包容,允许他们在后续学习与交流的过程中有一个自我调整、修正、改进、提高和完善的过程。尤其是对于个性化地、创造性地使用策略及其形式和方法的,更要大加赞赏与鼓励。
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