六年级奥数解题指导（第10讲）：分数应用题寻找不变量

　　较复杂的分数应用题中，一个数量的变化会引起相关联的数量的变化，使题中几个已知分率分别对应于不同的单位“1”，解题时需要对这些分率进行转化，先转化成统一的单位“1”，以便于理清具体数量和对应分率之间的关系。
　　前面已经学习了《单位“1”的转化》，请查阅：
　　【原创】六年级奥数解析（十）单位“1”的转化（一）
　　当题中已知分率对应的不同单位“1”之间没有直接的倍比关系，彼此不能直接转化时，就需要在题中变化的数量里找出隐藏的不变的量作为解题的中间条件统一的单位“1”，再把题中已知分率都转化为统一的单位“1”，从而能使问题迎刃而解。
　　此类分数应有题常见题型有：部分量不变、总量不变、相差量不变。
　　《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习1
　　【题目】：
　　甲的书本数是乙的3/4，甲给乙6本书后，甲的书的本数是乙的3/5，甲原有书多少本？
　　【解析】：
　　“甲给乙6本书后”，甲、乙各自的书的本数都发生了变化，但甲、乙两人书本总数没有发生变化，可把这个不变的总量看作单位“1”。
　　则甲原有书本数是两人书本总数的：3÷（3＋4）＝3/7；
　　甲给乙6本后，甲的书本数是两人书本总数的：3÷（3＋5）＝3/8；
　　甲先后拥有的书的本数相差6本，即甲、乙两人书本总数的3/7比总数的3/8多6本。
　　所以两人书本总数为：6÷（3/7－3/8）＝112（本），
　　甲原有书：112×3/7＝48（本）。
　　《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习2
　　【题目】：
　　一包糖，奶糖占总块数的1/3，放入18块水果糖后，奶糖占总块数的2/9，奶糖有多少块？
　　【解析】：
　　“放入18块水果糖后”，总块数发生了变化，但奶糖的块数没有发生变化，可把奶糖的块数看作单位“1”。
　　则放入水果糖之前，总块数是奶糖的3倍：1÷1/3＝3；
　　放入水果糖之后，总块数是奶糖的：1÷2/9＝9/2；
　　这包糖总块数前后相差18块，即奶糖的9/2比它的3倍多18块。
　　所以奶糖的块数为：
　　18÷（9/2－3）＝12（块）。
　　《奥赛天天练》第10讲，巩固训练，习题1
　　【题目】：
　　甲、乙两人共同生产一批零件，甲生产的是乙的1又2/3倍；如果甲把自己生产的零件给乙55个，甲生产的零件是乙的3/4。甲、乙两人各生产多少个零件？
　　【解析】：
　　本题中甲给乙55个零件后，甲和乙各自生产的零件个数都发生了变化，但两人生产的零件总数没有发生变化，可以把这个不变的总量看作单位“1”。
　　1又2/3＝5/3
　　则甲原本零件数是两人生产的零件总数的：5÷（5＋3）＝5/8；
　　甲给乙55个零件后，甲的零件数是两人生产的零件总数的：
　　3÷（3＋4）＝3/7；
　　甲先后零件数相差55个，即两人生产的零件总数的5/8比总数的3/7多55个。
　　所以两人生产的零件总数为：55÷（5/8－3/7）＝280（个）；
　　甲生产零件：280×5/8＝175（个）；
　　乙生产零件：280－175＝105（个）。
　　《奥赛天天练》第10讲，巩固训练，习题2
　　【题目】：
　　甲、乙两人去看电影，一张电影票票价是甲所有钱的6/25，是乙所有钱的3/5，当他们各自买了电影票后，甲剩下的钱比乙剩下的钱多3元，甲、乙两人买电影票前各有多少钱？
　　【解析】：
　　本题中电影票的票价是不变的量，可以把票价看作单位“1”。由题意可得：
　　甲所有钱是票价的：1÷6/25＝25/6；
　　乙所有钱是票价的：1÷3/5＝5/3；
　　甲、乙各买一张票后剩下钱相差3元，则甲、乙两人身上所有钱也相差3元。
　　所以电影票的票价为：3÷（25/6－5/3）＝6/5（元）；
　　甲买电影票前有钱：6/5×25/6＝5（元）；
　　乙买电影票前有钱：6/5×5/3＝2（元）。

　　《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题1
　　【题目】：
　　六年级（一）班召开班会，一个男生上台向老师报告：“台下男生人数是女生的4/5。”男生下台后，一位女生上台说：“台下的男生人数只有女生的7/8。”六年级（一）班共有多少人？
　　【解析】：
　　因为先后上台学生性别不同，台下的男女生人数都发生了变化，但上台的男生换成女生，台下的总人数没有发生变化。可以把台下学生总数看作单位“1”。
　　则男生上台时，男生人数是台下学生总数的：4÷（4＋5）＝4/9；
　　女生上台时，男生人数是台下学生总数的：7÷（7＋8）＝7/15；
　　前后男生人数只相差上台男生1人。
　　所以台下学生总数为：1÷（7/15－4/9）＝45（人），
　　六年级（一）班共有学生：45＋1＝46（人）。
　　《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题2
　　【题目】：
　　有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色。第一堆里的黑子数与第二堆的白子数一样多，第三堆的黑子数占全部黑子的2/5，把三堆棋子集中在一起，则白子占全部棋子的几分之几？
　　【解析】：
　　解法一：逐步转化单位“1”。
　　因为每堆棋子都只有黑白两色，且第一堆里的黑子数与第二堆的白子数一样多，则第一堆的黑子和第二堆的黑子合起来就等于第二堆的棋子总数。又因为每堆棋子数一样多，所以前两堆黑子总数占全部三堆棋子的1/3。
　　因为“第三堆的黑子数占全部黑子的2/5”，则前两堆黑子总数占全部黑子的：1－2/5＝3/5。
　　综上所述，全部黑子的3/5是全部棋子的1/3，转化单位“1”得，全部黑子是全部棋子的：1/3÷3/5＝5/9。
　　所以白子占全部棋子的：1－5/9＝4/9。
　　解法二：直观想象。
　　把第一堆的黑子和第二堆的白子交换一下，则第一堆全是白子，第二堆全是黑子。
　　第三堆的黑子数占全部黑子的2/5，则第二堆这一整堆黑子占全部黑子的3/5。第三堆的黑子数就占一整堆棋子的：2/5÷3/5＝2/3。
　　假设把每堆棋子都分成3份，则第一堆有3份白子，第二堆有3份黑子，第三堆有2份黑子、1份白子。所以白子占全部棋子的4/9。