［案例］
“面积单位间的进率”教学片断。
［教法一］
在进行复习铺垫之后，教师要求学生用尺子量出课前准备的1平方分米正方形的边长。
生：1分米。
生：10厘米。
师：边长1分米的正方形的面积是多少？
生：1平方分米。
师：边长10厘米的正方形的面积是多少？
生：100平方厘米。
师：同样一个正方形，怎么出现了两个数据？说明什么？
生：1平方分米＝100平方厘米。
接着，教师要求学生把1平方厘米的正方形摆在1平方分米的正方形上，看能摆多少个。（学生动手操作，摆正方形。）
生：我把1平方厘米的正方形先沿着大正方形的一条边摆一排，又沿着它相邻的一条边摆一排，发现一排能摆10个，共摆了10排，这样就能算出在1平方分米的正方形上能摆100个1平方厘米的小正方形。
……
师：通过拼摆，你发现了什么？
生：1平方分米＝100平方厘米。
最后，教师小结：通过测量、计算、拼摆，谁能说出平方分米和平方厘米之间的进率？
［教法二］
教师出示1平方厘米、1平方分米的正方形。
师：请大家仔细观察这两个正方形，你能否大胆猜测一下，平方分米和平方厘米之间的进率是多少？
生：我猜可能是100。
生：我猜可能是1 000。
……
师：你有什么办法来验证你的猜想呢？请你认真思考一下，动手试一试。
学生有的用尺子测量起了正方形的边长，有的用1平方厘米的小正方形在1平方分米的正方形上摆，有的轻声讨论起来。教师来回巡视，不时参与小组的讨论。
在一番自主活动之后，教师让学生到讲台上讲解、展示自己的思考方法和探究过程。
生：我和同桌是用计算的方法。先量出这个大正方形的边长是1分米，1分米也就是10厘米，10×10＝100，所以1平方分米＝100平方厘米。
生：我们是用摆小正方形的方法。在这个大正方形的一条边上能摆10个1平方厘米的小正方形，正好能摆10排，1平方分米上一共能摆100个1平方厘米，所以它们之间的进率是100。
［反思］
两种教法中都有学生的操作实践活动，两种操作实践活动在形式上很相似但却有本质的区别。在“教法一”中，学生虽然被调动起来，不停地随着教师的指令动手操作。可是，如果仔细分析，学生的行为实际上是对教师指令的被动回应，他们并不清楚为什么要进行这些操作活动。这样做，看似让学生观察与探究，实质上仍然停留在“告诉事实，验证结论”的水平，学生的思维活动投入量明显不足，多数学生只有行为的参与而缺少认知参与和积极的情感参与。
而“教法二”的设计更具探索性、开放性和自主性，教师先引导学生提出大胆猜想，然后启发学生：你能想办法验证自己的猜想吗？此时的学生处于一种积极探索的心理状态，当然会兴趣盎然地投入实践活动。在整个实践活动中，目标是明确的，思维是发散的，操作是自由的，结论是待定的，学生能充分发表自己个性化的感受和见解，自始至终是积极主动的。在此期间，学生不仅获得了数学知识和技能，而且在经历探索知识的过程中学习了研究问题的方法，学习了怎样与同伴合作交流，学生的探索、创新精神的培养得到了落实。
动手必须与动脑相结合。如果学生的操作实践变成了简单执行教师的“指令”，变成了一种机械的模仿与复制，只需手的运动而无需脑的兴奋，那么它的功效将会大大降低。操作实践，需要一种积极探索的心理状态，需要一定的思维空间和思维坡度，需要深刻的观察、想象、假设、推理、探究等高层次思维活动的加入，需要由指令性向自主性转变，从而成为具有鲜明个性特征的数学思维活动。
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