小学奥数题及解析（一类一题）排列组合问题

 

　1．有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
　　A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
　　根据乘法原理,分两步：
　　第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120÷5＝24种.
　　第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2＝32种
　　综合两步,就有24×32＝768种.
　　2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
　　A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
　　5全排列5*4*3*2*1=120
　　有两个l所以120/2=60
　　原来有一种正确的所以60-1=59
　　五．容斥原理问题
　　1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
　　A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
　　根据容斥原理最小值68+43-100＝11
　　最大值就是含铁的有43种
　　2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
　　A,5 B,6 C,7 D,8
　　根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题.
　　分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
　　由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
　　由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
　　由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
　　由（4）知：a1＝a2+a3……④
　　再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
　　再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
　　然后将④⑤⑥代入①中,整理得到
　　a2×4+a3＝26
　　由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数
　　当a2＝6、5、4、3、2、1时,a3＝2、6、10、14、18、22
　　又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
　　因此,符合条件的只有a2＝6,a3＝2.
　　然后可以推出a1＝8,a12+a13+a123＝7,a23＝2,总人数＝8+6+2+7+2＝25,检验所有条件均符.
　　故只解出第二题的学生人数a2＝6人.
　　3．一次考试共有5道试题.做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%.如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
　　答案：及格率至少为71％.
　　假设一共有100人考试
　　100-95＝5
　　100-80＝20
　　100-79＝21
　　100-74＝26
　　100-85＝15
　　5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
　　87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人）
　　100-29＝71（及格的最少人数,其实都是全对的）
　　及格率至少为71％