将对“教学难点”的认识与实践整理成篇，与同行们交流切磋，是我很久以来的心愿。从理论上讲大家都明白，“教学难点”和“教学重点”一样都是我们提高课堂教学效率的关键；从实践调查来看，教师对教学难点的认识度、重视度和实践效度却不容乐观，这些表征特别体现在我们的“家常课”上。本文试从认识与实践两个视角刻画数学教学中的“教学难点”，以期提高对教学难点的认识和实践水平。
一、稳定性——“教学难点”在理论上的产生
数学教学难点的产生与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的。所谓数学认知结构，就是“人们头脑中的数学知识(经验)按照自己的理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构”。
原有的数学认知结构扩充、完善，这个过程在认知心理学上叫做同化或顺应。同化过程是把新知识纳入原有的数学认知结构，从而扩大原有数学认知结构的过程，即对新知识进行加工，使之与原有认知结构相吻合。顺应是当新知识不能同化于原有的数学认知结构时，要改造数学认知结构，使新知识能适应这种结构的过程，即对数学认知结构进行改造，以适应新知识学习的需要。
一般来说，实现同化比较容易，实现顺应则比较困难。因为改造认知结构都比较困难，认知结构本身也有一种定势，定势的消极作用，阻碍认知的飞跃，从而造成学习新知识的困难，即形成教学难点。
如五年级上册第91页的例6教学一个数除以小数的计算，学生已经在上节课学习了一个数除以小数的基本计算方法，但只是局限于被除数的小数位数多于或等于除数的小数位数的小数除法。本节课继续学习一个数除以小数的计算，让学生理解并掌握被除数的小数位数少于除数小数位数时的处理方法，就成为该节课的教学难点。
二、灵活性——“教学难点”在实践中的确定
1 根据实际情况确定教学难点
以上理论分析可以这样认为：一般情况下，学习中凡是需要通过顺应掌握的数学知识点，就是教学难点。凡是需要通过同化而掌握的数学知识点，不一定是教学难点。但在现实操作时，还需要根据学生的实际水平来灵活定位具体每个班级、每位学生、每节课的教学难点。
在同一个学习过程中，同化和顺应往往同时存在，只是侧重有别。况且由于学生个体的数学认知结构的差异，会出现遭遇难点或在突破难点的速度上的个别差异。即使同化也存在差异，有些需要同化的知识，对某些学生而言，仍可能会形成学习难点；而有些需要顺应的知识，对某些学生而言，却可能不成难点。因此，同样一个问题，在不同班级的不同学生中，就不一定都是难点。
如五年级下册的“解决问题的策略”，是在学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，教学用“倒过来推想”的策略解决实际问题。“倒过来推想”是一种应用于特定问题情境下的解题策略，在生活中适合用这种策略解决的实际问题是复杂多变的。因此，能根据问题的具体情况确定合理的“倒过来推想”的解题步骤，就成为该课内容的教学难点之一。实践证明，同一个班级的学生在运用该策略解决实际问题时的能力差异是比较明显的，不同层次的学生突破难点的速度与水平参差不齐。而这个难点对于少部分数学触角和眼光相当敏锐的学生来说，根本不成难点。
2 区分教学重点与教学难点
教学重点是“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容”。如果某知识点是某知识单元的核心或是后继学习的基石或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。数学教学重点是基于数学知识内在的逻辑结构而客观存在的，因而对每一位学生均是一致的。
而教学难点却不是，正是由于重点与难点二者形成的依据不同，有的内容是重点又是难点，有的内容是重点但不一定会形成难点，有的内容是难点但不一定是重点，还有的内容虽然难却也并不一定就等于教学难点。
如二年级上册《认识厘米》一课，教学难点到底是什么?一说是“初步建立厘米的表象”，它既是本课教学重点之一，同时也是教学难点。另一说是“初步学会判断非整厘米线段的长度”，依据是该内容出现在练习中，实践证明它一直以来都是学生很难掌握的知识，掌握不好的话，本节课和后续教学都会出现许多问题。经过教研组集体讨论，我们最后确定本课教学难点应该是前者，后者虽然难却并非属于本课必须使学生掌握的内容，居于大部分学生认知水平之上，所以不应该属于本课需要重点突破的难点内容。
三、多样性——“教学难点”在策略上的把握
教学难点有两重性，一方面它可能成为学生学习上的分化点，另一方面又是学生智慧的开窍点。因此，找准教学难点，花力气突破教学难点，既可以帮助学生克服畏难情绪，爱学数学，又可以引导学生不断完善其数学认知结构，会学数学，从整体上提高学生的数学素质与意识。
教师应该着力想出各种有效办法加以突破，在突破过程中可以注重以下四“性”：
1 固着点支撑性
如何突破难点，首先需要努力寻找学生数学认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学教材是按其逻辑顺序编写的，因此，总可找到“固着点”作为学生学习上的支撑，以实现顺应或同化。
如五年级下册的“解决问题的策略”。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。因为是首次接触该内容，为帮助学生掌握得更好，在课前我设计了两个小游戏：第一个是作为知识固着点呈现的“抢数游戏”——( )+2=50、( )-2=50、( )×2=50、( )÷2=50；第二个是作为生活经验固着点出现的“猜谜游戏”——“我们一起来玩个迷宫游戏，好吗?这里有三条路，走哪一条路可以到达终点呢?比一比谁能最先找到这条路。不妨动笔试一试。”然后让最先找到答案的学生上来说一说指一指，自己找的是哪条路，是怎样找到这条路的?又是怎样想到用倒过来的方法来解决问题的?
2 自主合作性
还是以“解决问题的策略”为例，本课教学中还有一个教学难点是引导学生用“摘录条件法”整理条件。例2是这样的：“小明原有一些十运会明信片，又收集了24张，送给小军30张，还剩52张，小明原来有多少张明信片?”我这样引导学生自主合作经历跨越难点的过程——
(1)提问：用什么方法可以清晰地表示出题意呢?(小组讨论后，将你们的结果完成在组长的练习纸上。)
(2)汇报：
方案一——画图法；
方案二——列表法；
方案三——摘录条件法。
(3)比较：你认为，在这里运用哪种方法更能清晰地表示出题意?
(4)小结：这一题用刚才的画图或列表
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